最简略的回答:数学是抽象。
数学研究的是抽象概念,运用的是抽像方法,数学的发展体现为抽象程度的逐渐深入。
但是深入的话,数学的本质并没有定论。我将在下面分三个部分展开:
普通数学
对应于维基上说的现实主义数学,逻辑主义数学。大多普通群众,科研工作者,和很多数学家,都采取这些观点。在这些观点下,数学与现实紧密结合,因此其应用当然也非常广泛。
这其中比较肤浅的是:
数学是生产生活生存的需要,比如几何是为了丈量土地,数学是工具。
这个观点的代表么……马克思同学(如果他真这么说过)。所以1+1=2,因为一个苹果,再来一个苹果,是两个苹果,这是从实践中总结的经验和规律。
比较靠谱的想法是:
数学是无实体的,永恒的客观存在,是等待被人发现的自然规律。
提问者和大多数人都有这个想法。很多数学家包括一些大师也有这个想法。所以勾股定理不仅是丈量土地有用,还是直角三角形的普遍规律,而三角形是自然界中的对象。
另有一些数学家,和不少学计算机的认为:
数学是逻辑的一部分,是公理系统。
这个观点在实践中还是非常流行的,并且的确非常强大。但是其中很多悖论经不住下面那个文艺数学的推敲。在这个观点下,数字和运算都是公理。
文艺数学
对应于维基上的形式主义。很多数学家很多搞哲学的,还有我个人,都持这样的观点。
形式主义认为:数学体系是一场有一定规则的思维游戏,与现实世界完全无关。
与前面那些观点不同的是,这个观点空前抽象和开放。我们从此开始发明各种变态规则,玩奇怪的非人的游戏。在这个观点认为,勾股定理在欧几里德的几何规则下才正确,但是我们可以发明其他非欧几何,让他不正确;数是代数结构中的元素,运算是游戏规则。
这个观点给数学带来了空前的发展,也导致纯数学与现实严重脱节。不管有用没用,对形式主义者来说都一样值得研究。虽然对现实不再有直接的应用,但是其他学科主动去消化的话,仍然能找到很好的归宿。
二逼数学
我想提的是直觉说。很多搞认知学的,搞神经学的,大概会持这个观点……
直觉说认为:数学是人的大脑活动,数学都是被经历过的。
说一个数学对象存在,是因为你可以在大脑中构造这个对象。所以一些激进点的人会否认“无穷”这个概念的存在。我的一个认知学老师这样对我们说:数学家们经常觉得自己来了灵感,其实他们就是学了很多之后,从经验中获得的想法,哪有什么空来的点子。
其实他们的观点我觉得有些道理,只是……类比Sheldon说自己有很牛的想法,而Amy说自己研究的就是这些想法怎么来的。