在“为理解而教”课程背景下，韦罗妮卡·伯克森·曼西利亚（VeronicaBoixMansilla）和霍华德·加德纳提出了学科理解的4个维度：知识（对学科内容的良好理解）、方法（学科如何构建和检验知识）、目的（以学科为解释、解读和实际运用的工具）、形式（学科内重要的符号工具系统，例如，数学、文字或艺术的表达方式）。
对角线学习（Learningonthediagonal）：某学科适宜的知识内容和思维习惯都应当在深度和广度方面同时得到增长，思维习惯的发展不应当滞后。
不同的认知方式分别是什么样的？它们之间有哪些差异？回答这问题的途径之一就是，审视认知方式所发挥的4种重要作用：描述、论证、解释、应用。具体而言任何一种认知方式都能够：
欧几里得式认知是一种基础认知方式，借助它，我们可以从顽固而割裂的宇宙碎片中凝聚出真理。欧几里得为我们提供了形式化的演绎推理：广义上的猜想与证明。一方面猜想即提出力图证明的观点；另一方面，以定义、公理、已证实的定理、广泛概括的各种数学对象和系统为基础，借助于证明的机制，严谨的数学方才得以建立。关于这种数学发现，一个众所周知的例子就是经典的勾股定理，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，有许多证据可以证明这条重要的基本定理。为了更清楚地理解这一点，让我们具体看看欧几里得式认知如何描述、论证、解释和应用。描述始于阐明数学对象逻辑特点的定义，例如：“到定点的距离相等的所有点的轨迹称为圆”。虽然定义通常会受到关于某个数学对象（如，圆）的日常经验所启发，但它也具有规定性的特点。定义的内容说明了数学对象“是什么”，以便进行形式推理。而尽管会受到直观感觉的引导，几何学者仍然只能依据定义所阐明的特定形式属性来进行证明，别无他法。由此得出的结论通常表现为普遍性命题（如“所有直角三角形……”）或者存在性命题（如“至少有一类非直角三角形是……”），等等。欧几里得的论证方式包括从定义、公理和已证实的定理出发的形式演绎。由此产生了一个令人费解的后果：数学中的抗辩和反驳远远少于法律，法律常用的抗辩方法在数学中毫无意义。如果我们已经通过合理的演绎推理证明了勾股定理，那么就没有必要再听“反方意见”了。
实证科学的粗略版本：提出假设、实验验证。我们称其为“培根式认知”，以著名散文家、哲学家弗兰西斯·培根（FrancisBacon）的名字命名。他在1620年发表的著作《新工具》（NewInstrumentofScience,NovumOrganumScientiarum）中提出了这种科学方法。培根式认知从假设开始，即基于观察和思考提出一个概括性的命题。你认为它可能是正确的，但还不太肯定。“Hypothesis”（假设）这个词意蕴深刻，希腊词根“hypo”意指“之下、低于”（under），例如“hypodermic”意为“皮下注射”。而“thesis”则指人们自信断定的内容，也即命题。换句话说假设就是未达到命题水平的观点，它需要论据支撑，但目前证据不足。如果假设可以在许多情景中发挥作用，那么我们可以暂时认可它。但是必须十分谨慎：我们都知道，之后或许会出现一些矛盾限制假设的应用范围。前面学习几何的学生就是这样认为的——已证实的定理可能会遭遇例外。他们以培根式认知来看待这个问题，即：就算是确信无疑的事物也会出错；而不是按照欧几里得式认知来理解，即：确证的不容有疑。
科学哲学家卡尔·波普尔（KarlPopper）提出了一条关键原则，即：可证伪性或不可确证性。他在其1934年出版的著作《科学研究的逻辑》（TheLogicofScientificDiscovery,LogikderForschung）中指出，建立一种理论不仅需要收集有效的案例，也需要将其置于危险境地，考察由这种理论作出的具体推测不能被证实的情况。相应的优秀的科学家会致力于通过实验来冲击、挑战自己青睐的理论，而不仅仅是支持这理论的兴盛发展。
真正把握欧几里得式或培根式认知之后，学习者的关注点就会由“发现”（discovery）转变为“验证”（verification）。正如此前所说的，我们最好将欧几里得式认知视为猜想与证明的综合，而不仅仅是单独的证明。猜想可能的数学真理类似于假设——二者都是由观察和推测得来。但此后欧几里得式认知与培根式认知便分道扬镳。按照培根式认知，我们需要通过寻找实验性证据来验证猜想；按照欧几里得式认知，我们则需要通过形式证明来验证。（但是在试图开始棘手的验证之前，我们或许需要收集更多案例来建立信心。）为了掌握欧几里得式认知或培根式认知，学习者必须投入到猜想和假设的过程中，而不仅是证明和收集证据。
欧几里得式认知只是数学认知的一个方面，除此之外还有数学建模。数学建模始于具体情境（水资源需求、车流量与交通拥堵、可观测的行星运动、经济繁荣与萧条的模式等），进而试图通过建构数学模型来描述现实情境，并通过数学推理得出各种含义及预测，最后再回归现实生活（如创设一份水资源管理计划、验证交通状况是否符合预期等）。自然科学大多按这种方式来利用数学知识，例如，17世纪的数学物理学家牛顿就利用自己发现的万有引力定律来建构行星的运动轨迹模型，所以我们也可以将此称为“牛顿式认知”。概括而言牛顿的数学建模方式与培根的探究世界方式交织在一起，共同构成了科学探究。学习数学的要点不仅在于掌握便利的算术、几何、代数原理。如果教学方法适宜，那么数学学习就有利于超越具体的内容、超越伟大的欧几里得式认知或牛顿式认知，进而形成极其有效的全局性理解和开放性问题。同时如果在学习科学中充分重视不同的认知方式，那么学生也就能更好地理解牛顿式认知或培根式认知。我们只需要教授包括猜想和证明过程在内的初级欧几里得几何知识，就能帮助学生发现欧几里得式认知。而且我们也可以通过数学和科学领域的项目学习（也即研究性学习），借助容易操作的适宜内容，支持学生掌握全面的牛顿式认知，例如，请学生建构附近的交通流量模型，或预测社区未来20年的水资源需求。正是因为我们倾向于考虑欧几里得式认知、牛顿式认知、培根式认知的最高成就，例如，声名远播的理论或最重要的基础发现，这三类认知方式才会显得高不可攀。
“修昔底德”这个名字十分拗口，但他可能是现代意义上的第一位历史学家，值得我们纪念。修昔底德生活在公元前5世纪晚期的雅典。公元前431年到公元前404年，希腊备受战争侵扰，在雅典及其盟国对斯巴达及其盟国的伯罗奔尼撒战争中，他投身军旅，成为一位将军。但是修昔底德却因为一场意外失败的关键战役而名誉扫地，并被逐出雅典（尽管他根本没有参与这场战役，甚至直到战役结束时才赶到现场）。这样修昔底德以自由人的身份周游了争战双方的地界（雅典和斯巴达），将自己的厄运转变成机遇，谱写了名传千古的历史巨著《伯罗奔尼撒战争史》（ThePeloponnesianWars）。这本史书因为运用了真实的谈话和书面记录而赢得广泛赞誉，它并没有“妖魔化”战争的一方或“神圣化”另一方，而是昭示暴行，并且承认强权政治的强硬做派，因此其客观立场也备受好评。另外修昔底德努力避免用诸神的介入来解释历史事件，反而从人类俗世中寻找原因。
证明是认知方式中的关键部分，而历史研究的证明与科学证明截然不同。历史事件发生在无法重现的过去，所以我们不可能再做实验。同样历史的声音也不像科学实验室中的试管和电气设备，它有自己独特的任务：服务大众、传递意识形态、否认罪行、维护当权者等。另外实验室试验可以精确地展现和记录事实，而历史却只能回顾书面的报告文献，这既存在偏见，也容易因感觉和记忆的主观性而歪曲事实。也就是说历史的认知方式与众不同，我们称之为“修昔底德（Thucydides）式认知”。虽然历史和科学都需要实证，但是二者最得意的成果走向却毫无相似之处。科学尽可能地放大宏观，归纳最普遍的法则或原则，历史则尽可能地缩小视角，细致入微地解释关键的具体事件，如：工业革命如何产生、发展，为何发端于西方而非东方；美国独立战争中，美洲殖民地为什么能够击溃强大的英帝国，当时的战况有多么危急等。自然科学运用量化数据来描述世界，历史则借助于丰满的描述：抱着怀疑的态度筛选资料，据此阐述何时、发生了什么、原因是什么，等等。
传统的历史教学中，修昔底德式认知几乎无踪可循。汤姆·霍尔特（TomHolt）描绘了历史教学“一切照旧”的迂腐特点，相信大多数人对此都深有体会，套用一名学生的原话，我们学习的是“他人的历史”。霍尔特创作了一本引人入胜的小册子——《历史的思考：叙事、想象与理解》（ThinkingHistorically：Narrative,Imagination,andUnderstanding），该书向读者呈现了历史学习的新可能。霍尔特的基本主张即引导学生进行一些合理的历史研究实践。这种精妙的策略包括：解释原始资料、批判性地探讨其中可能的偏见、拼接多元资料，进而建构历史叙事。历史叙事是历史研究的独特成果，它阐释了历史事件的发生、发展及其原因。当然每一桩历史事件都有不只一种合理的叙事，而且，模棱两可的叙事反而为历史研究增添了不少色彩。在此叙事与反叙事都有繁荣发展的空间。更常见的情况是，学生学习由他人编撰的历史教材，其中的主要事件、发挥关键作用的各个部分都是从重要人物的角度编排，很少触及生活或事件的本质。霍尔特鼓励我们设想一种完全不同的历史学习——学生面对各种开放性问题，这些问题令史实和事件变得饱满、生动；有助于推测和解释简单的史实；当出现价值取向偏小众的史料时，有助于比较不同价值观之间的冲突；能够充满怀疑精神地审视历史依据；并且不偏不倚地陈述彼此冲突的历史叙事。霍尔特用下面的文字描绘了这样一幅历史学习的蓝图：「如果学生有机会直接考察原始的历史研究资料，并且自己得出对这些“史实”的可靠解释，那么情况会怎么样呢？假如在学习的过程中，学生必须定期整理支离破碎的、不完整的历史证据，并建构一种问题导向的叙事，进而得出结论，情况又会怎么样？倘若每个学生都像历史学家一样需要面对同一事件的多种矛盾叙事，那又将如何呢？」
我们希望学习者能在“做中学”、在玩学科游戏的过程中掌握游戏规则，进而将不同的学科放到一起，综合方方面面为生活做好准备。对此作者有三点看法。首先学习者不可能仅凭某个主题的一次经验就掌握一种认知方式。举例来说如果能够涉足不同的数学范畴，那么数学猜想与证据、数学建模也将更适宜、更有说服力。如果学生能够在思考各类开放性问题的前提下考察不同时期的若干历史事件，那么其中蕴含的历史认知方式也会显得更加清晰明确。其次通过直接的讨论，学习者更容易掌握一种认知方式。例如我们可以讨论某学科如何描述、论证、解释和应用，而且，对比探究、考察多个不同学科的效果更好，对比各个不同学科能够清楚地呈现多种认知方式的作用机制。第三要深植于各学科中的认知方式并不是我们解读世界的起点或终点。除学科认知方式外，与日常事务相关的常识（虽然可能不够普遍）在生活中发挥的作用也不可小觑，例如，宗教和冥想等都有其独特的价值，经验丰富的音乐家、猎人、运动员、谈判专家、画家或舞蹈家等所具有的敏锐直觉也是旁人难以领悟的；这些认知方式同样值得重视。
这是尾巴。
为未知而教为未来而学.第0章为未知而教为未知而教，为未来而学.第1章做业余的专家而不是严谨的学院派为未知而教，为未来而学.第2章学习即理解为未知而教，为未来而学.第3章点燃创造力的开放性问题为未知而教，为未来而学.第4章真正的学习为未知而教，为未来而学.第5章把千斤顶放进工具箱时，请把《尤利西斯》也放进去为未知而教，为未来而学.第6章像X一样思考
